3筑波大学 2002年 数学 第3問解答・解説

(1) $0<x<1$ のとき、積分の上端だけが $x$ なので、微積分の基本定理から $$g'(x)=f(x).$$ $x>1$ のときは積分区間の上下端がそれぞれ $x$、$x-1$ だから $$g'(x)=f(x)-f(x-1).$$ 従って $$g'(x)=\begin{cases}f(x)&(0<x<1),\\ f(x)-f(x-1)&(x>1).\end{cases}$$

(2) $0<x<1$ では $$\displaystyle g(x)=\int_0^x 2\pi\cos(2\pi t)\,dt=\sin(2\pi x).$$ $x\ge1$ では $$\displaystyle g(x)=\int_{x-1}^x 2\pi\cos(2\pi t)\,dt =\sin(2\pi x)-\sin(2\pi(x-1))=0,$$ ここで $\sin(2\pi(x-1))=\sin(2\pi x)$ を用いた。よって $$g(x)=\begin{cases}\sin(2\pi x)&(0<x<1),\\0&(x\ge1).\end{cases}$$

(3) $0<x<1$ では与えられた式を微分して $$f(x)=g'(x)=1+2\pi\cos(2\pi x).$$ $x>1$ では $g(x)=1$ なので、(1)より $$0=g'(x)=f(x)-f(x-1),\qquad f(x)=f(x-1).$$ この関係を繰り返せば、任意の $x>1$ の $f(x)$ は 0より大きく1以下の引数に対する値に一致する。したがって、そこで得た式と余弦の周期性から、すべての $x>0$ で $$f(x)=1+2\pi\cos(2\pi x).$$ 問題の条件 $f$ は $x\ge0$ で連続だから、この式は $x=0$ にも連続に延長される。答えは $$\boxed{f(x)=1+2\pi\cos(2\pi x)\quad(x\ge0)}.$$ 実際、この $f$ を積分すると $0<x<1$ で $g(x)=\sin(2\pi x)+x$、$x\ge1$ で $g(x)=1$ となり、指定された関数を得る。