2筑波大学 2002年 数学 第2問解答・解説

(1) $P=(x,y)$ とする。傾き $-1$ の直線は $x+y$ が一定であり、その $x$ 軸との交点の $x$ 座標が $2t$ だから $$x+y=2t.$$ また $P$ は $C$ 上なので $y^2-x^2=4$、すなわち $(y-x)(y+x)=4$。よって $y-x=2/t$ となり、 $$\displaystyle \boxed{x=t-\frac1t,\qquad y=t+\frac1t}.$$

(2) $x\ge0$ より $t-1/t\ge0$。$t=(x+y)/2>0$ だから $t\ge1$。等号は $x=0$, $P=(0,2)$ で実現するので、最小値は $\boxed1$。

(3) $t\ge1$ とし、曲線上の点を $Q(s)=(s-1/s,s+1/s)$ とおく。$s\ge1$ では $x'(s)=1+1/s^2>0$ なので、$s=1$ から $s=t$ が $(0,2)$ から $P$ までの曲線部分を表す。曲線の下の面積から三角形 $OP$ の面積を引くと $$\displaystyle S=\int_1^t\left(s+\frac1s\right)\left(1+\frac1{s^2}\right)ds-\frac12\left(t-\frac1t\right)\left(t+\frac1t\right).$$ 積分の被積分関数は $s+2/s+1/s^3$ だから $$\displaystyle \int_1^t\left(s+\frac2s+\frac1{s^3}\right)ds =\frac12\left(t^2-\frac1{t^2}\right)+2\ln t.$$ また三角形の面積は $\displaystyle \frac12(t^2-1/t^2)$ であり、差し引くと $$\boxed{S=2\ln t}.$$ $t=1$ では領域が退化して面積0となり、式も同じ値を与える。