2広島大学 2001年 数学 第2問解答・解説

(1) 直交座標を $(x,y)$ とすると $$x=r\cos\theta=a\sin2\theta,\qquad y=r\sin\theta=2a\sin^2\theta=a(1-\cos2\theta).$$ したがって $$\boxed{x^2+(y-a)^2=a^2}.$$ これは中心 $(0,a)$、半径 $a$ の円である。 $0\le2\theta\le\pi/2$ だから、$x$ は $0$ から $a$ まで増加し、$y$ は $0$ から $a$ まで増加する。 よって $C$ は $(0,0)$ から $(a,a)$ へ至る右下の四分円弧で、両端を含む。 関数表示では $$\boxed{y=a-\sqrt{a^2-x^2}\quad(0\le x\le a)}.$$ 図の青い円弧が $C$ であり、着色部は (2) で回転させる領域を示す。

(2) $x$ 座標が一定の断面は半径 $a-\sqrt{a^2-x^2}$ の円である。 したがって体積は $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^a\left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)^2\,dx\\ &=\pi\int_0^a\left(2a^2-x^2-2a\sqrt{a^2-x^2}\right)\,dx. \end{aligned}$$ $\displaystyle \int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\,dx$ は半径 $a$ の四分円の面積なので $\pi a^2/4$。 ゆえに $$\displaystyle V=\pi\left(2a^3-\frac{a^3}3-2a\cdot\frac{\pi a^2}4\right) =\boxed{\frac{\pi a^3(10-3\pi)}6}.$$