筑波大学 2002年数学第1問解答・解説

指数関数・対数関数極限微分法

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1問題

筑波大学2002年度第1問

a を正の定数とし、関数 $f(x)$ を以下のように定める。

$\displaystyle f (x) = \frac {\log x}{(1 + x) ^ {a}} \qquad (x > 0)$

このとき、次の問いに答えよ。

(1) $\displaystyle e^{\frac{1}{a}}$ と $\displaystyle e^{\frac{2}{a}}$ の間に $f'(c)=0$ となる c が存在することを示せ。

(2) $f'(c)=0$ となる c はただ一つであり、関数 $f(x)$ は x=c で最大値をとることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

導関数を正の因子と単調減少する関数の積に整理する。端点の符号と中間値の定理で存在を示し、導関数の符号変化で一意性と最大性を示す。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1)\quad \exists c\in(e^{1/a},e^{2/a})\; f'(c)=0.$
$(2)\quad c$ は一意であり、 f は $x=c$ で最大値をとる。

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$a>0$ とし、 $\displaystyle g(x)=1+\frac{1}{x}-a\log x$ とおく。微分すると $\displaystyle f'(x)=\frac{1+1/x-a\log x}{(1+x)^{a+1}}=\frac{g(x)}{(1+x)^{a+1}}.$ 分母は $x>0$ で正である。また、 $g(e^{1/a})=e^{-1/a}>0,\qquad g(e^{2/a})=e^{-2/a}-1<0.$ $g$ は連続だから、中間値の定理により $e^{1/a}<c<e^{2/a}$ を満たす $c$ が存在して $g(c)=0$ 、したがって $f'(c)=0$ となる。

さらに、 $\displaystyle g'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{a}{x}<0\qquad(x>0)$ より $0<u<v$ ならば $g(u)>g(v)$ が成り立つ。ゆえに零点 $c$ はただ一つであり、 $x<c$ では $g(x)>0$ 、 $x>c$ では $g(x)<0$ である。分母の正値性から、 $f$ は $0<x<c$ で増加し、 $x>c$ で減少する。したがって $f$ は $x=c$ で唯一の最大値をとる。

この問題で使う考え方

対数関数のグラフ・増減
関数の連続性
指数・対数関数の微分

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