6愛媛大学 2009年 数学 第6問解答・解説

(1) $f_n(x)=a_nx^2+b_nx+c_n$ とおく。漸化式の各項の係数を比較すると、$n\geq2$ で$$a_n=a_{n-1}+n^2,\qquad b_n=b_{n-1}-n,\qquad c_n=c_{n-1}+3^{n-1}$$である。また $f_1(x)=x^2-x+1$ より$$a_1=1,\qquad b_1=-1,\qquad c_1=1.$$ (2) (1)の漸化式を初項までさかのぼると$$\displaystyle a_n=\sum\limits _{k=1}^{n}k^2,\qquad b_n=-\sum\limits _{k=1}^{n}k,\qquad c_n=1+\sum\limits _{k=2}^{n}3^{k-1}.$$まず $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ である。また $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ を $k=1$ から $n$ まで加えると$$\displaystyle (n+1)^3-1=3\sum\limits _{k=1}^{n}k^2+3\sum\limits _{k=1}^{n}k+n,$$したがって $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ となる。さらに$$\displaystyle c_n=1+\sum\limits _{j=1}^{n-1}3^j=1+\frac{3^n-3}{2}=\frac{3^n-1}{2}.$$よって$$\displaystyle a_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\qquad b_n=-\frac{n(n+1)}{2},\qquad c_n=\frac{3^n-1}{2}.$$ (3) $n=1$ では $3>2$ で成り立つ。ある自然数 $k$ で $3^k>k+1$ と仮定すると$$3^{k+1}=3\cdot3^k>3(k+1)>k+2,$$最後の不等号は $3(k+1)-(k+2)=2k+1>0$ による。よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ で $3^n>n+1$ が成り立つ。 (4) (2)より $f_n(x)=A_nx^2+B_nx+C_n$ とおくと$$\displaystyle A_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}>0,\quad B_n=-\frac{n(n+1)}{2},\quad C_n=\frac{3^n-1}{2}.$$判別式を $D_n=B_n^2-4A_nC_n$ とすると$$\displaystyle D_n=n(n+1)\left\{\frac{n(n+1)}{4}-\frac{(2n+1)(3^n-1)}{3}\right\}.$$ (3)より $3^n-1>n$ だから$$\displaystyle \frac{n(n+1)}{4}-\frac{(2n+1)(3^n-1)}{3}<\frac{n(n+1)}{4}-\frac{n(2n+1)}{3}=-\frac{n(5n+1)}{12}<0.$$従って $D_n<0$。実際、$$4A_nf_n(x)=(2A_nx+B_n)^2-D_n>0$$であり $A_n>0$ なので $f_n(x)>0$ はすべての実数 $x$ で成り立つ。ゆえに $f_n(x)=0$ は実数解をもたない。