1岐阜大学 2008年 数学 第1問解答・解説

(1) $n\geq2$ のとき $$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n\alpha-\{(n-1)^2+(n-1)\alpha\}=2n-1+\alpha.$$ また、$a_1=S_1=1+\alpha$ なので、同じ式は $n=1$ のときも成り立つ。したがって $$a_n=2n-1+\alpha.$$

(2) よって $$\displaystyle \begin{aligned} T_n&=\sum\limits _{k=1}^n k(2k-1+\alpha) =2\sum\limits _{k=1}^n k^2+(\alpha-1)\sum\limits _{k=1}^n k\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}3+\frac{(\alpha-1)n(n+1)}2 =\frac{n(n+1)(4n+3\alpha-1)}6. \end{aligned}$$

(3) 定義より $$T_{n+1}-T_n=(n+1)a_{n+1}=(n+1)(2n+1+\alpha).$$ $n\geq1$ では $n+1>0$ であるから、この差がすべての自然数 $n$ について正となる条件は $2n+1+\alpha>0$ がすべての $n\geq1$ で成り立つことである。最も厳しいのは $n=1$ のときなので、必要十分条件は $$\boxed{\alpha>-3}.$$