5岐阜大学 2008年 数学 第5問解答・解説

agraph{(1)} 放物線 $y^2=2x$ を $y^2=4ax$ と比較すると $\displaystyle a=\frac12$ である。したがって焦点は $\displaystyle F=(\frac12,0)$、準線は $\displaystyle l:x=-\frac12$ である。 $P=(u,v)$ とおくと、$\displaystyle u=\frac{v^2}{2}$ であり、$P$ は原点以外なので $v\ne0$、従って $u>0$ である。$H$ は準線上にあるから $\displaystyle H=(-\frac12,h)$ とおける。 まず $$\displaystyle FP^2=(u-\tfrac12)^2+v^2=u^2-u+\tfrac14+2u=(u+\tfrac12)^2$$ であり、$u>0$ より $\displaystyle FP=u+\frac12$ である。一方 $$\displaystyle PH^2=(u+\tfrac12)^2+(v-h)^2.$$ 条件 $FP=PH$ を両辺正のまま二乗すると $(v-h)^2=0$、よって $h=v$ であり、$\displaystyle H=(-\frac12,v)$ となる。 三角形 $FPH$ の重心 $G=(t,s)$ は $$\displaystyle t=\frac{\frac12+u-\frac12}{3}=\frac{u}{3}=\frac{v^2}{6},\qquad s=\frac{0+v+v}{3}=\frac{2v}{3}$$ だから $\displaystyle v=\frac32s$ を代入して $$\displaystyle \boxed{t=\frac38s^2},\qquad s\ne0\quad(t>0).$$

agraph{(2)} 原文は回転角を $45^\circ$ とするが、時計回り・反時計回りの指定はない。向きを分けて条件を調べる。 反時計回りに $45^\circ$ 回転した点の座標は、$\displaystyle \cos45^\circ=\sin45^\circ=\frac1{\sqrt2}$ より $$\displaystyle \left(\frac{t-s}{\sqrt2},\frac{t+s}{\sqrt2}\right)$$ である。これが $x$ 軸上にある条件は $t+s=0$、すなわち $s=-t$ である。(1)の $\displaystyle t=\frac38s^2$ と合わせると、$\displaystyle t=\frac38t^2$ となる。$t>0$ だから $\displaystyle t=\frac83$、$\displaystyle s=-\frac83$ である。この場合は $\displaystyle G=(\frac83,-\frac83)$。 時計回りに $45^\circ$ 回転した点は $$\displaystyle \left(\frac{t+s}{\sqrt2},\frac{s-t}{\sqrt2}\right)$$ であり、$x$ 軸上にある条件は $s=t$ である。(1)から同様に $\displaystyle t=\frac38t^2$、$t>0$ より $\displaystyle t=s=\frac83$。この場合は $\displaystyle G=(\frac83,\frac83)$。 両方とも実際に条件を満たす。前者は $\displaystyle v=\frac32s=-4$ に対応する $P=(8,-4)$、$\displaystyle H=(-\frac12,-4)$ から生じ、後者は $P=(8,4)$、$\displaystyle H=(-\frac12,4)$ から生じる。よって向きを指定しなければ候補が二つあり、原文だけからは一意に定まらない。反時計回りを意味するなら $\displaystyle G=(\frac83,-\frac83)$、時計回りなら $\displaystyle G=(\frac83,\frac83)$ であり、(2)全体の判定は HOLD とする。