2岐阜大学 2008年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle f(x)=\int_0^3|t-x|\,dt = \begin{cases} \displaystyle\int_0^3(t-x)\,dt=\frac92-3x &(x\le0),\\[4pt] \displaystyle\int_0^x(x-t)\,dt+\int_x^3(t-x)\,dt=x^2-3x+\frac92 & (0\le x\le3),\\[4pt] \displaystyle\int_0^3(x-t)\,dt=3x-\frac92 &(x\ge3). \end{cases}$$ (1) $\displaystyle f(2)=2^2-3\cdot2+\frac92=\frac52$。 (2) $0\le x\le3$ では $\displaystyle f(x)=(x-\frac32)^2+\frac94$。したがってグラフは $x\le0$ で直線 $\displaystyle y=\frac92-3x$、$0\le x\le3$ でこの上に開く放物線の弧、$x\ge3$ で直線 $\displaystyle y=3x-\frac92$ をつないだ形である。接続点は $\displaystyle (0,\frac92),(3,\frac92)$、頂点は $\displaystyle (\frac32,\frac94)$ である。 (3) $x=2$ では $\displaystyle f(2)=\frac52>0=m(x-2)$ なので常に不等式が成り立つ。$x\ne2$ では $\displaystyle q(x)=\frac{f(x)}{x-2}$ とおく。$x<2$ では不等式は $m>q(x)$ と同値である。 $x\le0$ のとき $$\displaystyle q(x)=-3+\frac{3}{2(2-x)}\le-\frac94.$$ $0\le x<2$ では $u=2-x\ (0<u\le2)$ とおくと $$\displaystyle q(x)=1-u-\frac{5}{2u}\le1-2\sqrt{\frac52}=1-\sqrt{10},$$ 等号は $\displaystyle u=\sqrt{\frac52}$（すなわち $\displaystyle x=2-\sqrt{\frac52}$）のときに成り立つ。$\displaystyle -\frac94<1-\sqrt{10}$（$\displaystyle \sqrt{10}<\frac{13}{4}$）だから $$\displaystyle \max\limits _{x<2}q(x)=1-\sqrt{10},$$ この最大値は $x<2$ で実際にとられる。よって必要十分条件の下限は $m>1-\sqrt{10}$ である。 一方 $2<x\le3$ では $v=x-2$ とおくと $0<v\le1$ なので $$\displaystyle q(x)=1+v+\frac{5}{2v}>\frac72>3.$$ $x\ge3$ では $$\displaystyle q(x)=3+\frac{3}{2(x-2)}>3.$$ 従って $m\le3$ なら全ての $x>2$ で $m<q(x)$ となる。逆に $m>3$ なら $\displaystyle x\ge3,\ x-2>\frac{3}{2(m-3)}$ となる $x$ を選ぶと $\displaystyle 3+\frac{3}{2(x-2)}<m$ となり、不等式は成り立たない。以上より $$\boxed{1-\sqrt{10}<m\le3}.$$