4岐阜大学 2008年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle r=\frac{x}{x^2+1}$ とおくと、各項は $\displaystyle \frac{x^{k+1}}{(x^2+1)^k}=xr^k$ と書ける。$x=2$ では $\displaystyle r=\frac25$ だから $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}g_n =2\sum\limits _{k=1}^{\infty}\left(\frac25\right)^k =2\cdot\frac{2/5}{1-2/5} =\frac43.$$

(2) すべての実数 $x$ について $$x^2+1-2|x|=(|x|-1)^2\ge0$$ だから、$\displaystyle \left|r\right|=\frac{|x|}{x^2+1}\le\frac12<1$ であり、$r^n\to0$ である。また $1-r>0$ なので、有限等比級数の和から $$\displaystyle g_n=x\sum\limits _{k=1}^n r^k =x\frac{r(1-r^n)}{1-r} \longrightarrow x\frac{r}{1-r} =\frac{x^2}{x^2-x+1}.$$ この式は $x=0$ の場合にも成り立つ。よって $\displaystyle g=\lim\limits _{n\to\infty}g_n=\frac{x^2}{x^2-x+1}$。

(3) $\displaystyle D=x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34>0$ とおく。すると $$\displaystyle g=\frac{x^2}{D}\ge0,\qquad \frac43-g=\frac{4D-3x^2}{3D} =\frac{(x-2)^2}{3D}\ge0.$$ 前者は $x=0$、後者は $x=2$ で等号となる。したがって最小値は $0$（$x=0$）、最大値は $\displaystyle \frac43$（$x=2$）である。