7愛媛大学 2009年 数学 第7問解答・解説

(1) 点を列ベクトルで表す。直線 $y=x$ に関する対称移動は $(x,y)\mapsto(y,x)$ だから、その行列は $S=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ である。また、原点のまわりの角 $\theta$ の回転行列は $R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ である。

(2) 対称移動の後に回転するので、合成行列は $A(\theta)=R(\theta)S$ である。したがって $A(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\sin\theta&\cos\theta\\\cos\theta&\sin\theta\end{pmatrix}$。

(3) $s_\gamma=\sin\gamma,\ c_\gamma=\cos\gamma$ とおくと、$$\begin{aligned} A(\alpha)A(\beta)&=\begin{pmatrix}-s_\alpha&c_\alpha\\c_\alpha&s_\alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-s_\beta&c_\beta\\c_\beta&s_\beta\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}s_\alpha s_\beta+c_\alpha c_\beta&-s_\alpha c_\beta+c_\alpha s_\beta\\-c_\alpha s_\beta+s_\alpha c_\beta&c_\alpha c_\beta+s_\alpha s_\beta\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\cos(\alpha-\beta)&-\sin(\alpha-\beta)\\\sin(\alpha-\beta)&\cos(\alpha-\beta)\end{pmatrix}.\end{aligned}$$ ここで三角関数の加法定理を用いた。これは原点のまわりの回転角 $\alpha-\beta$ の回転行列である。

(4) $\displaystyle \alpha-\beta=\frac{4}{9}\pi-\frac{5}{6}\pi=-\frac{7}{18}\pi$ である。(3)の回転行列を $n$ 乗すると回転角は $\displaystyle -\frac{7n}{18}\pi$ となる。これが単位行列となる条件は、$\displaystyle -\frac{7n}{18}\pi=2k\pi$（$k$ は整数）である。よって $7n=-36k$。$7$ と $36$ は互いに素なので $36$ は $n$ を割り切る。自然数 $n\ge1$ の最小値は $36$ であり、実際に $n=36$ のとき回転角は $-14\pi$ で単位行列となる。

出願先別選択指示：教育学部・農学部は大問1,2,3,4を解答し、理学部・工学部は大問4,5,6,7,8を解答し、医学部は大問4,6,7,8,9を解答する。本問（大問7）は理学部・工学部・医学部の対象。