8愛媛大学 2009年 数学 第8問解答・解説

$f(x)=xe^{-x^2/2}$ だから $$f'(x)=(1-x^2)e^{-x^2/2}.$$ (1) 点 $(t,f(t))$ における接線は $$\begin{aligned} y&=f(t)+f'(t)(x-t)\\ &=e^{-t^2/2}\bigl((1-t^2)x+t^3\bigr). \end{aligned}$$ したがって、その $y$ 切片は $$g(t)=t^3e^{-t^2/2}$$ である。

(2) $g$ を微分すると $$g'(x)=x^2(3-x^2)e^{-x^2/2}.$$ 指数因子は正であるから、$g'(x)<0$ は $x<-\sqrt3$ および $x>\sqrt3$、$g'(x)>0$ は $-\sqrt3<x<0$ および $0<x<\sqrt3$ で成り立つ。$x=0$ でも $g'(0)=0$ だが、増減は変わらない。よって $g$ は $x<-\sqrt3$ で減少し、$-\sqrt3<x<\sqrt3$ で増加し、$x>\sqrt3$ で減少する。極小値は $x=-\sqrt3$ で $-3\sqrt3e^{-3/2}$、極大値は $x=\sqrt3$ で $3\sqrt3e^{-3/2}$ である。

問題文で許された極限から $\displaystyle \lim\limits _{x\to-\infty}g(x)=0$ および $\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}g(x)=0$ であり、左では負側、右では正側から近づく。グラフは $(-\sqrt3,-3\sqrt3e^{-3/2})$ を通る極小の後に原点を水平に通過し、$(\sqrt3,3\sqrt3e^{-3/2})$ で極大となってから $x$ 軸に近づく。別添図に概形を示す。

(3) 点 $P(0,p)$ を通る接線の条件は、その $y$ 切片が $p$ となること、すなわち $g(t)=p$ となることである。$M=3\sqrt3e^{-3/2}$ とおく。$g$ の増減と極値から、$0<p<M$ および $-M<p<0$ のとき、水平線 $y=p$ はそれぞれグラフと2点で交わる。$p=0$ では $t=0$ の1点、$p=\pm M$ では極値の1点だけであり、$|p|>M$ では交点がない。

2つの接点が同じ接線を表す可能性も除く。$g(t)=f(t)-tf'(t)$ である。仮に2つの異なる接点 $t_1<t_2$ が同じ切片 $p$ と同じ傾き $m$ をもつなら、$f'(t_1)=f'(t_2)=m$ かつ $$\displaystyle 0=g(t_2)-g(t_1)=f(t_2)-f(t_1)-m(t_2-t_1) =\int_{t_1}^{t_2}(f'(x)-m)\,dx.$$ ところが $$f''(x)=x(x^2-3)e^{-x^2/2}$$ より、$p>0$ の2接点は $\sqrt3$ を、$p<0$ の2接点は $-\sqrt3$ をはさんでおり、その区間では $f'$ は両端の共通値 $m$ より小さい。従って上の積分は負となり矛盾する。よって2つの接点は異なる接線を与える。

以上より、求める範囲は $$-3\sqrt3e^{-3/2}<p<0\quad\text{または}\quad0<p<3\sqrt3e^{-3/2},$$ すなわち $0<|p|<3\sqrt3e^{-3/2}$ である。