3大分大学 2009年 数学 第3問解答・解説

(1) $1\le k\le 9$ では $[k/10]=0$ であり、$10j\le k\le 10j+9$ では $[k/10]=j$ である。したがって、$k=1$ から $69$ までの和は $10(1+2+\cdots+6)=210$ である。各項は非負なので、$n\le 69$ なら求める和は $210$ 以下である。また、$n\ge 80$ なら $k=1$ から $80$ までの和を含み、その和は $210+10\cdot7+8=288$ 以上である。よって $70\le n\le79$ の場合だけを調べればよい。この範囲では新たに加わる各項が $7$ だから、$$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\left[\frac{k}{10}\right]=210+7(n-69).$$ これが $238$ となるには $7(n-69)=28$、すなわち $n=73$ である。実際、$n=73$ のとき和は $210+4\cdot7=238$ となる。

(2) $\displaystyle A_n=\left[\sqrt n+\frac12\right]$ とおく。$n\ge1$ では $$\displaystyle 0<\sqrt{n+1}-\sqrt n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}<1$$ なので、$A_{n+1}-A_n$ は $0$ または $1$ である。差が $1$ となるとき、$k=A_n$ とおけば $k$ は正の整数であり、$A_n=k$、$A_{n+1}=k+1$ から $$\displaystyle \sqrt n<k+\frac12\le\sqrt{n+1},\qquad n<\left(k+\frac12\right)^2\le n+1$$ を得る。ここで $\displaystyle \left(k+\frac12\right)^2=k(k+1)+\frac14$ である。$n$ と $k(k+1)$ は整数なので、上の不等式は $n\le k(k+1)$ および $k(k+1)\le n$ を与え、$n=k(k+1)$ となる。逆に、正の整数 $k$ に対して $n=k(k+1)$ とすると $\displaystyle k^2<n<(k+\frac12)^2<n+1<(k+1)^2$ である。したがって $\displaystyle k<\sqrt n<k+\frac12$ および $\displaystyle k+\frac12<\sqrt{n+1}<k+1$ となり、$A_n=k$、$A_{n+1}=k+1$ で差は $1$ である。以上より、求める値は $n=k(k+1)$ となる正の整数 $k$ があるとき $1$、それ以外は $0$ である。