1大分大学 2009年 数学 第1問解答・解説

(1) $$\displaystyle I_1=\int_0^{\sqrt3}\frac{1}{1+x}\,dx =\bigl[\log(1+x)\bigr]_0^{\sqrt3} =\log(1+\sqrt3).$$ また、 $$\displaystyle I_2=\int_0^{\sqrt3}\frac{1}{1+x^2}\,dx =\bigl[\arctan x\bigr]_0^{\sqrt3} =\frac{\pi}{3}.$$

(2) 被積分関数は非負である。任意の $0<a<1$ について、$0\leq x\leq a$ なら $x^n\leq a^n$ なので $$\displaystyle I_n\geq\int_0^a\frac{1}{1+x^n}\,dx \geq\frac{a}{1+a^n}.$$ 固定した $a<1$ について $a^n\to0$ だから、この下界は $a$ に近づく。

上側は $0\le x\le1$ と $1\le x\le\sqrt3$ の範囲に分ける。前者では被積分関数が $1$ 以下、後者では $x>1$ について $1/(1+x^n)\leq x^{-n}$ だから、$n>1$ のとき $$\displaystyle \begin{aligned} I_n &\leq 1+\int_1^{\sqrt3}x^{-n}\,dx\\ &=1+\frac{1-(\sqrt3)^{1-n}}{n-1} \leq1+\frac1{n-1}. \end{aligned}$$ よって $\displaystyle \limsup\limits _{n\to\infty}I_n\leq1$。一方、任意の $0<a<1$ に対して $\displaystyle \liminf\limits _{n\to\infty}I_n\geq a$ なので $a$ を $1$ に近づけると $\displaystyle \liminf\limits _{n\to\infty}I_n\geq1$。以上より $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}I_n=1.$$