2大分大学 2009年 数学 第2問解答・解説

漸化式を成分ごとに書くと $$a_{n+1}=a_n+cb_n,\qquad b_{n+1}=a_n+b_n$$ である。また $$\displaystyle r=\frac{1+\sqrt{4c+1}}{2}$$ は $r^2-r-c=0$ を満たすから、$r+c=r^2$ である。さらに $c>1$ より $r>1$ である。

(1) $n=1$ では $a_1=1=r^0$、また $b_1=1\ge r^{-1}$ である。ある $n\ge1$ で $a_n\ge r^{n-1}$、$b_n\ge r^{n-2}$ と仮定すると、 $$a_{n+1}=a_n+cb_n\ge r^{n-1}+cr^{n-2}=r^{n-2}(r+c)=r^n,$$ $$b_{n+1}=a_n+b_n\ge r^{n-1}+r^{n-2}=r^{n-2}(r+1)\ge r^{n-1}.$$ よって数学的帰納法により、すべての $n\ge1$ について所望の二つの不等式が成り立つ。

(2) $d_n=a_n-b_n\sqrt c$ とおく。すると $$\begin{aligned} d_{n+1} &=(a_n+cb_n)-\sqrt c(a_n+b_n)\\ &=(1-\sqrt c)a_n+(c-\sqrt c)b_n\\ &=(1-\sqrt c)(a_n-b_n\sqrt c) =(1-\sqrt c)d_n. \end{aligned}$$ $d_1=1-\sqrt c$ であるから、$d_n=(1-\sqrt c)^n$、すなわち $$a_n-b_n\sqrt c=(1-\sqrt c)^n$$ である。

(3) (1)より $b_n\ge r^{n-2}>0$ である。また $$\displaystyle r=\frac{1+\sqrt{4c+1}}2>\sqrt c$$ （$\sqrt{4c+1}>2\sqrt c$）なので、$q=(\sqrt c-1)/r$ とおけば $0<q<1$ である。(2)を用いると $$\displaystyle \left|\frac{a_n}{b_n}-\sqrt c\right| =\frac{|a_n-b_n\sqrt c|}{b_n} \le\frac{(\sqrt c-1)^n}{r^{n-2}} =r^2q^n\longrightarrow0 \quad(n\to\infty).$$ したがって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\sqrt c.$$