III富山大学 2009年 数学 第III問解答・解説

(1) $\displaystyle A\binom{x}{1}=(2x,2)^T$ の第二成分から $\displaystyle \frac32x-1=2$ より $x=2$。第一成分も $\displaystyle \frac72\cdot2-3=4=2x$ と一致する。次に $\displaystyle A\binom{y}{1}=(y/2,1/2)^T$ の第二成分から $\displaystyle \frac32y-1=\frac12$ より $y=1$。第一成分も $\displaystyle \frac72-3=\frac12=y/2$ と一致する。

(2) $\displaystyle u=\binom21, v=\binom11$ とする。実際に $B$ を掛けると $$\displaystyle Bu=\binom{2/3}{1/3}=\frac13u,\qquad Bv=\binom33=3v.$$ したがって $\displaystyle a=\frac13,b=0,c=0,d=3$。

(3) 行列を成分ごとに掛けると $$\displaystyle AB=\begin{pmatrix}-\frac16&\frac53\\-\frac56&\frac73\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}-\frac16&\frac53\\-\frac56&\frac73\end{pmatrix}.$$ よって $AB=BA$。

(4) 各段階で $X_n=\alpha_nu+\beta_nv$ と書く。初期値 $X_0=(3,2)^T=u+v$ なので $\alpha_0=\beta_0=1$。表が出たときは $\displaystyle Au=2u, Av=\frac12v$、裏が出たときは $\displaystyle Bu=\frac13u, Bv=3v$ だから、係数 $\alpha$ は確率 $p$ で2倍、確率 $1-p$ で $\displaystyle \frac13$ 倍となり、係数 $\beta$ はそれぞれ $\displaystyle \frac12$ 倍、3倍となる。従って前段階の値を固定したときの平均倍率は $$\displaystyle \lambda=2p+\frac{1-p}{3}=\frac{1+5p}{3},\qquad \mu=\frac p2+3(1-p)=3-\frac{5p}{2}.$$ 条件付き期待値を平均すると $$E(\alpha_n)=\lambda E(\alpha_{n-1}),\qquad E(\beta_n)=\mu E(\beta_{n-1}).$$ 初期値がともに1なので、これを $n$ について順に適用して $$E(\alpha_n)=\lambda^n,\qquad E(\beta_n)=\mu^n.$$ また $X_n=\alpha_n(2,1)^T+\beta_n(1,1)^T=(2\alpha_n+\beta_n,\alpha_n+\beta_n)^T$ であるから $$T_n=2\lambda^n+\mu^n,\qquad S_n=\lambda^n+\mu^n.$$

(5) $0<p<1$ より $\lambda,\mu$ は正であり、 $$\displaystyle \lambda+\mu=\frac{20-5p}{6}>\frac{15}{6}=\frac52>2.$$ したがって $\lambda,\mu$ の少なくとも一方は1より大きい。もし $\lambda>1$ なら $2\lambda^n\to\infty$、もし $\mu>1$ なら $\mu^n\to\infty$。よって $T_n=2\lambda^n+\mu^n\to\infty$、従って $T_n^2+S_n^2\to\infty$。

(1)(2)で実際に行列を掛けて係数を求め、(3)は積AB, BAを成分計算する。(4)では$X_n$を二つの具体的な列ベクトルu=(2,1), v=(1,1)の係数α_n,β_nで表し、硬貨の結果ごとに各係数へ掛かる倍率から期待値の漸化式を立てる。(5)では平均倍率の和が2を超えることから少なくとも一方が1を超え、$T_n$が発散する。