II富山大学 2009年 数学 第II問解答・解説

(1) $b=\beta^{1/k}>0$ とおく。$f$ を微分すると $$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{k+1}\left(1-\beta^{1/(k+1)}x^{-k/(k+1)}\right).$$ したがって $0<x<b$ では $f'(x)<0$、$x>b$ では $f'(x)>0$ であり、最小値は $x=b$ でとる。条件 $\alpha/k\ge b$ を使うと $$\displaystyle f(b)=\frac{b+\alpha}{k+1}-b=\frac{\alpha-kb}{k+1}\ge0.$$ よって全ての $x>0$ で $f(x)\ge0$。

(2) $g=(x_1x_2\cdots x_n)^{1/n}>0$、$y_i=x_i/g$ とおくと $\displaystyle \prod\limits _{i=1}^n y_i=1$。正の数 $t$ に対して $\ln t\le t-1$ である。実際、$h(t)=t-1-\ln t$ は $h'(t)=1-1/t$ より $t=1$ で最小値0をとる。したがって $$\displaystyle 0=\sum\limits _{i=1}^n\ln y_i\le\sum\limits _{i=1}^n(y_i-1),$$ ゆえに $\displaystyle \sum y_i\ge n$。両辺に $g/n$ を掛け、$gy_i=x_i$ を戻せば $$\displaystyle \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\ge g=(x_1x_2\cdots x_n)^{1/n}.$$

(3) $\displaystyle \binom53=10$ 個の三つ組積に(2)を適用する。それらの積では各 $a_i$ は $\displaystyle \binom42=6$ 回ずつ現れるので、10個の三つ組積の総積は $(a_1a_2a_3a_4a_5)^6=M^6$。よって $$\displaystyle \frac{S}{10}\ge(M^6)^{1/10}=M^{3/5},$$ 従って $S\ge10M^{3/5}=10\sqrt[5]{M^3}$。

小問(1)は $f$ の最小点を微分で求め、仮定から最小値が非負と示す。小問(2)は幾何平均で各数を規格化し、$\ln t\le t-1$ を足し合わせる。小問(3)は10個の三数積に相加相乗平均を適用し、各 $a_i$ が6回ずつ現れることから積を $M^6$ と計算する。