1鹿児島大学 2003年 数学 第1問解答・解説

(1) $R=\sqrt{a^2+b^2}$ とおく。$a,b$ はともに $0$ でないので $R>0$ であり、 $$\displaystyle \left(\frac aR\right)^2+\left(\frac bR\right)^2=1.$$ したがって、$\displaystyle \cos\alpha=\frac aR$、$\displaystyle \sin\alpha=\frac bR$ となる定数 $\alpha$ をとることができる。この $\alpha$ は $a,b$ のみによって決まり、$\theta$ によらない。加法定理より $$R\cos(\theta+\alpha) =R(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha) =a\cos\theta-b\sin\theta,$$ となり、求める等式が成り立つ。

(2) $a=\sqrt3,\ b=1$ とすると $R=2$ である。したがって $$\displaystyle \cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin\alpha=\frac12$$ となる $\alpha=30^\circ$ を選べば、 $$\sqrt3\cos\theta-\sin\theta=2\cos(\theta+30^\circ).$$ よって $\alpha=30^\circ$（$360^\circ$ を法として）である。

(3) (1)で $a=b=1$ とすれば $$\cos\theta-\sin\theta=\sqrt2\cos(\theta+45^\circ).$$ $\phi=\theta+45^\circ$ とおくと、$45^\circ\leq\phi\leq225^\circ$ である。余弦は $0^\circ$ から $180^\circ$ まで減少し、$180^\circ$ から $360^\circ$ まで増加するので、この区間での最大値は $\displaystyle \cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$、最小値は $\cos180^\circ=-1$ である。従って $$\displaystyle \max(\cos\theta-\sin\theta)=\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=1 \quad(\theta=0^\circ),$$ $$\displaystyle \min(\cos\theta-\sin\theta)=\sqrt2\cdot(-1)=-\sqrt2 \quad(\theta=135^\circ).$$