3鹿児島大学 2003年 数学 第3問解答・解説

3-1 $M$は$AB$の中点なので $$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{\vec a+\vec b}{2}.$$ 角の二等分線の定理から$AD:DB=OA:OB=3:2$ であり、内分点の公式より $$\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{2\vec a+3\vec b}{5}.$$ $c=\vec a\cdot\vec b$ とおく。$E=t\overrightarrow{OD}$ とすれば$(\vec a-\overrightarrow{OE})\cdot\overrightarrow{OD}=0$ より $$\displaystyle t=\frac{\vec a\cdot\overrightarrow{OD}}{|\overrightarrow{OD}|^2} =\frac{(18+3c)/5}{(72+12c)/25}=\frac54.$$ したがって$\displaystyle \overrightarrow{OE}=\frac{2\vec a+3\vec b}{4}$。$F$は直線$OM$上なので$\overrightarrow{OF}=s(\vec a+\vec b)$ とおける。また直線$AE$上でもあるから、ある$\lambda$ により $$\displaystyle s(\vec a+\vec b)=\vec a+\lambda(\overrightarrow{OE}-\vec a) =\left(1-\frac\lambda2\right)\vec a+\frac{3\lambda}{4}\vec b.$$ $\vec a,\vec b$ の係数を比べて$s=3\lambda/4=1-\lambda/2$ を得るので$\lambda=4/5,s=3/5$。よって $$\displaystyle \overrightarrow{OF}=\frac35(\vec a+\vec b),\qquad \overrightarrow{DF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OD}=\frac15\vec a.$$

3-2 (1) $w=1/(1-z)$ から$z=1-1/w$ であり、$|z|=1$ は$|w-1|=|w|$ と同値。 $$\displaystyle |w-1|^2=|w|^2\text{すなわち} w+\overline w=1\text{すなわち}\operatorname{Re}w=\frac12.$$ この直線上の点は$w\ne0$ で、逆に$z=1-1/w$ が条件を満たす。したがって図形は直線$\operatorname{Re}w=1/2$。

(2) $w=1/(\sqrt3-z)$ より$z=\sqrt3-1/w$。$|z|=1$ は$|\sqrt3w-1|=|w|$ と同値だから、$w=x+iy$ として $$\displaystyle 3|w|^2-\sqrt3(w+\overline w)+1=|w|^2 \text{すなわち} \left(x-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+y^2=\frac14.$$ この円は原点を通らないため逆変換も可能であり、図形は中心$(\sqrt3/2,0)$、半径$1/2$の円周。

(3) $z=e^{i\theta}$（$0<\theta<\pi/2$）とおくと、(2)の円上にあり $$\displaystyle w=\frac{\sqrt3-\cos\theta+i\sin\theta}{4-2\sqrt3\cos\theta}$$ だから$\operatorname{Im}w>0$。端点の極限は $$\displaystyle \theta\to0:\quad w\to\frac1{\sqrt3-1}=\frac{\sqrt3+1}{2},\qquad \theta\to\frac\pi2:\quad w\to\frac1{\sqrt3-i}=\frac{\sqrt3+i}{4}.$$ 写像は一対一で、像はこの2点を端点とする円の上側の開弧（中心角$150^\circ$の短い方）である。端点は$\arg z$ の不等号が厳密なので含まない。

3-3 取り出したカードの番号が4以上なら直ちに終了し、そうでないときも累積和が初めて4以上になれば終了する。各回は独立に1〜5の5通り。

(1) 1回で終わるのは最初が4または5なので$P(X=1)=2/5$。2回で終わるには初回が1,2,3で、2回目が順に3通り、4通り、5通り。よって $$\displaystyle P(X=2)=\frac{3+4+5}{5^2}=\frac{12}{25}.$$

(2) 2回目まで続く長さ2の列は$(1,1),(1,2),(2,1)$。その後の1回で終了するカード数は、それぞれ4,5,5通りだから$P(X=3)=14/5^3=14/125$。3回目まで続く列は$(1,1,1)$だけで、4回目はどのカードでも終了するから$P(X=4)=5/5^4=1/125$。従って分布は $$\begin{array}{c|c|c|c|c} X&1&2&3&4\\\hline P(X)&2/5&12/25&14/125&1/125 \end{array}$$ であり、確率の和は1。期待値は $$\displaystyle E(X)=\frac25+2\cdot\frac{12}{25}+3\cdot\frac{14}{125}+4\cdot\frac1{125}=\frac{216}{125}.$$

(3) 合計8で終了するには、最後に5を引き、それ以前の番号の和が3でなければならない。和3の継続列は$(3),(1,2),(2,1),(1,1,1)$。したがって $$\displaystyle P(\text{和}=8)=\frac1{5^2}+\frac2{5^3}+\frac1{5^4}=\frac{36}{625}.$$ このうち$X=2$ なのは列$(3,5)$だけで、その確率は$1/25$。よって $$\displaystyle P(X=2\mid\text{和}=8)=\frac{1/25}{36/625}=\frac{25}{36}.$$