1長崎大学 2001年 数学 第1問解答・解説

$$f(x)=x^3-6x^2+3kx \qquad (k\text{ は定数})$$

(1) 極大値と極小値をもつための $k$ の範囲 $$f'(x)=3x^2-12x+3k=3\bigl((x-2)^2+k-4\bigr).$$ 導関数が異なる2つの実数解をもつとき、導関数の符号は正から負、負から正へと変わるので、$f$ は極大値と極小値をもつ。その条件は $$(x-2)^2=4-k$$ が異なる2実根をもつこと、すなわち $k<4$ である。$k=4$ では $f'(x)=3(x-2)^2\geq0$ で、$f(x)=(x-2)^3+8$ は単調増加し、$x=2$ は極値でない。$k>4$ なら $f'(x)>0$ である。したがって $$\boxed{k<4}.$$

(2) 極大値と極小値の差が $4$ となる $k$ (1)より $k<4$ とし、$d=\sqrt{4-k}>0$ とおく。$u=x-2$ とすると $$f(u+2)=u^3-3d^2u+(8-6d^2),\qquad f'(u+2)=3(u^2-d^2).$$ よって $u=-d$ で極大、$u=d$ で極小となる。また $$f(2-d)=2d^3+8-6d^2,\qquad f(2+d)=-2d^3+8-6d^2,$$ なので、その差は $4d^3$ である。これが $4$ だから $$4d^3=4,\quad d=1,\quad k=4-d^2=3.$$ したがって $$\boxed{k=3}.$$

(3) (2)の場合のグラフ $k=3$ を代入すると $$f(x)=x^3-6x^2+9x=x(x-3)^2,\qquad f'(x)=3(x-1)(x-3).$$ $f'$ の符号から、$x=1$ で極大、$x=3$ で極小となり、 $$f(1)=4,\qquad f(3)=0.$$ さらに $f''(x)=6x-12$ より変曲点は $(2,2)$。$x$ 軸との交点は $(0,0)$ と $(3,0)$ で、$x=3$ は重解なのでグラフはそこで軸に接する。増減と端での様子を合わせると、左下から上昇して原点を通り $(1,4)$ で折り返し、$(2,2)$ を通って下降し $(3,0)$ で軸に接したのち右上へ上昇する三次曲線である。