4帝京大学 2001年 数学 第4問解答・解説

(1) $B=(a,\sqrt3a^2),\ C=(a,-\sqrt3a^2)$ なので、$BC=2\sqrt3a^2$。底辺を $BC$ とすると、点 $A(2,0)$ から直線 $x=a$ までの距離は $2-a$ である。したがって面積は $$\displaystyle S(a)=\frac12\cdot2\sqrt3a^2(2-a)=\sqrt3a^2(2-a)\qquad(0<a<2).$$ $$S'(a)=\sqrt3(4a-3a^2)=\sqrt3a(4-3a).$$ この範囲では $S$ は $\displaystyle 0<a<\frac43$ で増加し、$\displaystyle \frac43<a<2$ で減少する。よって最大となるのは $\displaystyle a=\frac43$ であり、 $$\displaystyle S\!\left(\frac43\right)=\sqrt3\cdot\frac{16}{9}\cdot\frac23=\frac{32\sqrt3}{27}.$$

(2) 原点中心の $60^\circ$ 回転と3倍拡大を行うと、 $$Q=3\left(2\cos60^\circ-4\sin60^\circ,\ 2\sin60^\circ+4\cos60^\circ\right) =(3-6\sqrt3,\ 6+3\sqrt3).$$ さらに $120^\circ$ 回転して $\displaystyle \frac12$ 倍する操作を合わせると、回転角は $180^\circ$、拡大率は $\displaystyle \frac32$ となる。したがって $$\displaystyle R=\frac32(-2,-4)=(-3,-6).$$ よって $\displaystyle \boxed{\text{ア}=\frac43,\ \text{イ}=\frac{32\sqrt3}{27},\ \text{ウ}=(3-6\sqrt3,6+3\sqrt3),\ \text{エ}=(-3,-6)}$。