5帝京大学 2001年 数学 第5問解答・解説

2個の赤球が取り出される位置の組は、10個の位置から2つを選ぶ組合せであり、全 $\displaystyle \binom{10}{2}=45$ 通りが同様に確からしい。調べが終わる球数 $T$ は、この2位置のうち後の位置である。

(1) $T=2$ となるのは赤球の位置が $(1,2)$ の1通りなので、確率は $\displaystyle \frac1{45}$。$T=3$ となる位置の組は $(1,3),(2,3)$ の2通りだから、確率は $\displaystyle \frac2{45}$。 $$\displaystyle \boxed{\text{ア}=\frac1{45},\quad \text{イ}=\frac2{45}}.$$

(2) 第 $k$ 球目と第 $n$ 球目でちょうど2個の赤球が出る位置の組は、指定された $\{k,n\}$ の1通りである。したがって $$\displaystyle \boxed{\text{ウ}=\frac1{\binom{10}{2}}=\frac1{45}}.$$

(3) $T=n$ となるには、もう一方の赤球の位置が $1,2,\ldots,n-1$ のいずれかであればよい。この位置の組は $n-1$ 通りなので $$\displaystyle \boxed{\text{エ}=\frac{n-1}{45}}\qquad(2\le n\le10).$$

(4) $T$ の期待値は $$\displaystyle E(T)=\sum\limits _{n=2}^{10}n\,P(T=n)=\frac1{45}\sum\limits _{n=2}^{10}n(n-1) =\frac{330}{45}=\frac{22}{3}.$$ 確率の合計も $\displaystyle \sum\limits _{n=2}^{10}(n-1)/45=45/45=1$ となる。よって $\displaystyle \boxed{\text{オ}=\frac{22}{3}}$。