4広島大学 2003年 数学 第4問解答・解説

カードに書かれた数字が $m$ のとき、F君は $m$ 回投げる。各投球は確率 $p$ でヒットとなるので、$j$ 本ヒットを打つ確率を $$\displaystyle P_m(j)=\binom{m}{j}p^j(1-p)^{m-j}\quad(0\le j\le m)$$ とおく。$j>m$ のときは $P_m(j)=0$ とする。

(1) 箱 $B_k$ では、$k$ 本ヒットを打つにはカード $k$ を引いて全投球をヒットにする必要がある。したがって $$\displaystyle q_k=\frac1k p^k.$$ 箱 $B_{k+1}$ で $k$ 本ヒットを打つのは、カード $k$ を引いて全投球をヒットにする場合、またはカード $k+1$ を引いてちょうど1回失敗する場合である。よって $$\displaystyle r_k=\frac1{k+1}\left(p^k+\binom{k+1}{k}p^k(1-p)\right).$$ したがって $$(k+1)r_k-kq_k =p^k+(k+1)p^k(1-p)-p^k =(k+1)p^k(1-p).$$

(2) カードの数字ごとに確率を足すと $$\displaystyle q_j=\frac1k\sum\limits _{m=1}^{k}P_m(j),\qquad r_j=\frac1{k+1}\sum\limits _{m=1}^{k+1}P_m(j).$$ よって、最初の $k$ 項が相殺され、 $$\displaystyle (k+1)r_j-kq_j=P_{k+1}(j) =\binom{k+1}{j}p^j(1-p)^{k+1-j}\quad(0\le j\le k).$$

(3) カードの数字が $m$ のときのヒット数の確率母関数は、二項定理より $$\displaystyle \sum\limits _{j=0}^{m}P_m(j)t^j =\sum\limits _{j=0}^{m}\binom{m}{j}(pt)^j(1-p)^{m-j} =(1-p+pt)^m=\alpha^m.$$ カードの数字 $m$ は $1,\ldots,n$ から等確率で選ばれるので、全確率を平均すれば $$\displaystyle \sum\limits _{j=0}^{n}p_jt^j =\frac1n\sum\limits _{m=1}^{n}\sum\limits _{j=0}^{m}P_m(j)t^j =\frac1n\sum\limits _{m=1}^{n}\alpha^m =\frac1n(\alpha+\alpha^2+\cdots+\alpha^n).$$ これで示された。

(4) カードの数字が $m$ のとき、各投球のヒットを表す確率変数の期待値は $p$ であるから、ヒット数の期待値は $mp$ である。カードの数字が $1,\ldots,n$ から等確率で選ばれることより $$\displaystyle E=\frac1n\sum\limits _{m=1}^{n}mp =\frac{p}{n}\cdot\frac{n(n+1)}2 =\frac{n+1}{2}p.$$