3広島大学 2003年 数学 第3問解答・解説

(2) $y\ge0$ となるのは $0\le y\le1$ の範囲である。高さ $y$ における図形の水平断面は $$\log(1+y)\le x\le\log\bigl(a-(a-2)y\bigr),$$ であり、これは回転軸 $x=\log2$ を含む。軸から左右端までの距離は $$\displaystyle r_L=\log\frac{2}{1+y},\qquad r_R=\log\frac{a-(a-2)y}{2}.$$ ここで $$(1+y)\bigl(a-(a-2)y\bigr)=a+2y-(a-2)y^2$$ は $0\le y\le1$ で増加する。実際、その導関数 $2-2(a-2)y$ は正で、$y=1$ での値は $4$。従って積は $4$ 以下で、$r_L\ge r_R$。回転後の高さ $y$ の断面は半径 $r_L$ の円盤となる。よって $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^1\left(\log\frac{2}{1+y}\right)^2dy\\ &=\pi\int_1^2\left(\log\frac2u\right)^2du\\ &=\pi\left[ u\left\{\left(\log\frac2u\right)^2+2\log\frac2u+2\right\}\right]_{1}^{2}\\ &=\boxed{\pi\left(2-2\log2-(\log2)^2\right)}. \end{aligned}$$

単元・方法・テーマ (1) 絶対値を含む関数の定義域分割、指数関数の増減・凹凸・漸近線。\ (2) 回転体の体積：回転軸に垂直な水平断面を用いる。軸を含む断面が回転後に円盤になることを確認し、左右の距離を比較して外半径を決める。\ テーマは絶対値の差の式を二関数の最小値に直し、グラフの正部分を回転して得られる立体の断面を評価すること。