5広島大学 2003年 数学 第5問解答・解説

解答

$\displaystyle c=\sqrt{b-\dfrac{a^2}{4}}$とおく。条件$a^2-4b<0$より$c>0$である。

agraph{(1)} $X^2-aX+bE=O$を成分で書くと $$\begin{cases} x^2+yz-ax+b=0,\\ y(x+w-a)=0,\\ z(x+w-a)=0,\\ w^2+yz-aw+b=0. \end{cases}$$ もし$y=z=0$なら、第1式は$x^2-ax+b=0$となる。しかし判別式$a^2-4b$は負なので、実数$x$では成り立たない。従って$y,z$の少なくとも一方は0でなく、第2・第3式から $$x+w=a$$ を得る。これを第1式に代入すると $$0=x^2+yz-(x+w)x+b=yz-xw+b$$ だから $$xw-yz=b.$$

agraph{(2)} (1)を用いて $$\begin{aligned} x^2+y^2+z^2+w^2-2b &=x^2+y^2+z^2+w^2-2(xw-yz)\\ &=(x-w)^2+(y+z)^2\ge0. \end{aligned}$$ よって不等式が成り立つ。等号成立条件は$x=w$かつ$z=-y$である。(1)より$x=w=a/2$であり、$xw-yz=b$から$y^2=b-a^2/4=c^2$となる。従って等号候補は $$X_+=\begin{pmatrix}a/2&c\\-c&a/2\end{pmatrix},\qquad X_-=\begin{pmatrix}a/2&-c\\c&a/2\end{pmatrix}.$$ 実際、$m=a/2$、$J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$とすると$J^2=-E$で、$X_\pm=mE\pm cJ$である。よって $$X_\pm^2-aX_\pm+bE=(b-m^2-c^2)E=O,$$ なので両方とも$S$に属する。

agraph{(3)} $X\in S$なら(1)より$x+w=a$である。$m=a/2$として $$Y=X-mE=\begin{pmatrix}u&y\\z&-u\end{pmatrix}$$ とおく。$X=mE+Y$を$X^2-aX+bE=O$に代入すると$Y^2+c^2E=O$、すなわち $$u^2+yz=-c^2.$$ また(2)より、相異なる等号行列$A,B$は$X_+,X_-$の二つである。$1$ または $-1$ の値をとる $\varepsilon$ を用いて $$A=mE+\varepsilon cJ,\qquad B=mE-\varepsilon cJ$$ と書ける。成分を掛け、$u^2+yz=-c^2$を使うと $$(X-A)(X-B) =(Y-\varepsilon cJ)(Y+\varepsilon cJ) =\begin{pmatrix} -\varepsilon c(y+z)&2\varepsilon cu\\ 2\varepsilon cu&\varepsilon c(y+z) \end{pmatrix}.$$ これが$O$だから、$c>0$より$u=0,\ z=-y$である。すると$u^2+yz=-c^2$から$y^2=c^2$、すなわち$y=\pm c$。よって$X=X_+$または$X_-$、つまり$X=A$または$X=B$である。