VI日本大学 2026年 数学 第VI問解答・解説

(1) すべての実数で定義され連続であるから、分母 $x^2+b$ が0にならず、$b>0$ である。$f(1)=1$ より $$\displaystyle \frac{a+2}{1+b}=1,\qquad b=a+1.$$ 商の微分法で $$\displaystyle f'(x)=\frac{a(x^2+b)-2x(ax+2)}{(x^2+b)^2} =\frac{-ax^2-4x+ab}{(x^2+b)^2}.$$ $x=1$ は極値をとる点だから $f'(1)=0$、すなわち $a(b-1)=4$ である。$b=a+1$ を代入すると $a^2=4$。$a=2$ のとき $b=3>0$、$a=-2$ のとき $b=-1$ となるから、$a=2,b=3$ である。このとき $$\displaystyle f'(x)=\frac{-2(x-1)(x+3)}{(x^2+3)^2}$$ は $x=1$ の近くで正から負へ変わり、実際に極大値 $f(1)=1$ をとる。

(2) $f(x)=2(x+1)/(x^2+3)$ だから、$x$ 軸との交点は $(-1,0)$ である。$-1\le x\le1$ で $f(x)\ge0$ なので、求める回転体の体積は $$\displaystyle V=\pi\int_{-1}^{1}f(x)^2\,dx =4\pi\int_{-1}^{1}\frac{(x+1)^2}{(x^2+3)^2}\,dx.$$ $2x/(x^2+3)^2$ は奇関数であり、この区間で積分すると0だから $$\displaystyle V=4\pi\int_{-1}^{1}\frac{x^2+1}{(x^2+3)^2}\,dx.$$ ここで $x=\sqrt3\tan t$ と置く。$-1\le x\le1$ は $-\pi/6\le t\le\pi/6$ に対応し、$dx=\sqrt3\sec^2t\,dt$ である。$x^2+3=3\sec^2t$ より $$\displaystyle V=\frac{4\sqrt3\pi}{9}\int_{-\pi/6}^{\pi/6} \bigl(3\sin^2t+\cos^2t\bigr)\,dt =\frac{4\sqrt3\pi}{9}\int_{-\pi/6}^{\pi/6}(2-\cos2t)\,dt.$$ したがって $$\displaystyle V=\frac{4\sqrt3\pi}{9} \left[2t-\frac12\sin2t\right]_{-\pi/6}^{\pi/6} =\frac{4\sqrt3\pi}{9}\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}\right) =\frac{8\sqrt3}{27}\pi^2-\frac23\pi.$$ よって指定の空欄は $45=2,46=3,47=-,48=1,49=8,50=2,51=7,52=3,53=2,54=3$ である。