日本大学 2026年数学第II問解答・解説

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1問題

日本大学2026年度第II問

次の $1$ 〜 $54$ の1つ1つには、 $0$ から $9$ までの数字または負の符号 $-$ のいずれかが入る。それらを解答用紙の $1$ 〜 $54$ にマークして答えなさい。ただし、分数はすべて既約分数で答え、負の分数のときは符号を分子につけなさい。また、根号の中の数は最も小さい自然数を用いて答えなさい。　 $\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$ であり， $\displaystyle \tan\theta=-\frac{4}{3}$ とする。

(1) $\displaystyle \tan\frac{\theta}{2}=\boxed{\phantom{0}}_{\text{14}}$ である。

(2) $\displaystyle \tan\frac{3\theta}{2}=\frac{\boxed{\phantom{0}}_{\text{15}}}{\boxed{\phantom{0}}_{\text{16}}\boxed{\phantom{0}}_{\text{17}}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

象限条件から三角比の符号を確定し、半角公式と正接の加法定理を順に適用した。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle (1)\space{}\tan\frac{\theta}{2}=2,$
$\displaystyle (2)\space{}\tan\frac{3\theta}{2}=\frac{2}{11}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$ なので $\theta$ は第2象限にあり、 $\displaystyle \tan\theta=-\frac43$ から $\displaystyle \sin\theta=\frac45,\ \cos\theta=-\frac35$ である。

(1) $\displaystyle \frac{\theta}{2}$ は第1象限にあるから、半角の公式より $\displaystyle \tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} =\frac{\frac45}{1-\frac35}=2$ となる。

(2) 加法定理を $\displaystyle \theta+\frac{\theta}{2}$ に用いると $\displaystyle \tan\frac{3\theta}{2} =\frac{\tan\theta+\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan\theta\tan\frac{\theta}{2}} =\frac{-\frac43+2}{1-(-\frac43)\cdot2} =\frac{\frac23}{\frac{11}{3}} =\frac{2}{11}.$ 分母は0でないので、この計算は定義される。

この問題で使う考え方

三角関数の相互関係
半角の公式
三角関数の加法定理

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