I鳥取大学 2014年 数学 第I問解答・解説

$$t=\cos 2x,\quad -1\le t\le1,\quad\sin^2 2x=1-t^2,\quad 4\cos^2x-\cos2x-2=t.$$ $$f(x)=1-t^2-at+b.$$ $$\displaystyle \max\limits _{-1\le t\le1}(t^2+at)=1+|a|,\quad\min\limits _{-1\le t\le1}(t^2+at)=\begin{cases} -\frac{a^2}{4},&|a|\le2,\\ 1-|a|,&|a|\ge2. \end{cases}$$ $$\displaystyle \therefore\quad |a|\le2,\quad |a|-1\le b\le2-\frac{a^2}{4}.$$

$t=\cos 2x$は$-1\le t\le1$のすべての値をとる。$\sin^2 2x=1-t^2$、$4\cos^2x-\cos2x-2=2(1+t)-t-2=t$なので、$f=1-t^2-at+b$。$-1\le f\le3$を全$t$で満たす条件は$\displaystyle b\ge\max\limits _{-1\le t\le1}(t^2+at-2)=|a|-1$と$\displaystyle b\le\min\limits _{-1\le t\le1}(2+t^2+at)$。$t^2+at$は上に凸で、最大は端点の$1+|a|$。最小は$|a|\le2$なら頂点で$-a^2/4$、$|a|>2$なら近い端点で$1-|a|$。後者のとき上限$3-|a|$と下限$|a|-1$が両立するには$|a|\le2$が必要なので、この場合は境界$|a|=2$のみとなる。総合して$|a|\le2$、$|a|-1\le b\le2-a^2/4$。$a=\pm2$では上下限とも1。