鳥取大学 2014年数学第IV問解答・解説

1問題

鳥取大学2014年度第IV問

$a,b$ を正の実数とする。 $xy$ 平面内の楕円 $\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $P$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。 $P$ を媒介変数表示により $P(a\cos t,b\sin t)\ (0\leq t<2\pi)$ とするとき，次の問いに答えよ。

(1) 直線 $\ell$ の方程式を求めよ。

(2) $t$ が $\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$ の範囲にあるとき，直線 $\ell$ に直交し，楕円 $C$ 上の点 $Q(a\cos\theta,b\sin\theta)\ (0<\theta<\pi)$ で $C$ に接する直線を $m$ とする。接点 $Q$ の座標を $a,b,t$ を用いて表し，直線 $m$ の方程式を求めよ。

(3) $t$ が $\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$ の範囲にあるとき，直線 $\ell$ と(2)で求めた直線 $m$ との交点を $R$ とする。線分 $OR$ の長さを求めよ。ただし $O$ は原点とする。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

QC照合記録：MM-bc96ee4f5264-Q4

数学・論証独立結果は次の通り。 $\displaystyle \begin{aligned} (1)\quad &\ell:\frac{x\cos t}{a}+\frac{y\sin t}{b}=1,\\ (2)\quad &D=\sqrt{a^4\sin^2t+b^4\cos^2t},\quad Q=\left(-\frac{a^3\sin t}{D},\frac{b^3\cos t}{D}\right),\\ &m:-a\sin t\,x+b\cos t\,y=D,\\ (3)\quad &|OR|=\sqrt{a^2+b^2}. \end{aligned}$ これを同IDの旧ACCEPTED答案および保存済みprecheck/checkと照合し、全小問で一致した。特に(2)では $0<\theta<\pi$ と $0<t<\pi/2$ から $\theta$ が第2象限に一意に定まること、(3)では二直線の法線ベクトルが直交し、内積と長さの計算から $OR^2=a^2+b^2$ となることを確認した。数学判定PASS、論証PASS。

範囲・分類高校数学の楕円の接線、三角比、直線の直交、ベクトルの内積と成分分解の範囲内で、大学数学の定理は使わない。単元：数学C「平面上の曲線」の楕円、数学II「図形と方程式」の直線・距離。方法：媒介変数表示、接線の法線・傾き、直交条件、直交ベクトルへの成分分解。テーマ：楕円の垂直接線と二接線の交点距離。

表示・actual 旧答案の最終答案・解答・方針文字列に制御文字はなく、各文字列の中括弧数は釣り合っている。現行ソース文字列から具体的な表示欠陥は見つからなかった。完全な本番テンプレートPDFの描画は未確認（UNVERIFIED）であり、これは表示上の実証欠陥とは別記録である。actual は内部モデルの実測検証がないため UNVERIFIED。

この問題で使う考え方

媒介変数表示、接線の法線と傾き、直交条件、直交ベクトルへの成分分解

1問題

2解答

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