III鳥取大学 2014年 数学 第III問解答・解説

(1) t=1-x と置換すると、積分区間の端点は x=0,1 から t=1,0 へ移る。したがって

$$\displaystyle B(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,dx=\int_1^0(1-t)^{p-1}t^{q-1}(-dt)=\int_0^1t^{q-1}(1-t)^{p-1}\,dt=B(q,p).$$よって B(p,q)=B(q,p).

(2) x+(1-x)=1 より

$$\displaystyle B(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\{x+(1-x)\}\,dx=B(p+1,q)+B(p,q+1).$$また、部分積分により

$$\displaystyle B(p+1,q)=\int_0^1x^p(1-x)^{q-1}\,dx=\left[-\frac{x^p(1-x)^q}{q}\right]_0^1+\frac pq\int_0^1x^{p-1}(1-x)^q\,dx=\frac pq B(p,q+1).$$ここで p,q$\ge$ 1 なので、境界項は x=0,1 のいずれでも 0 である。以上の二式から

$$\displaystyle B(p,q)=\left(1+\frac pq\right)B(p,q+1)=\frac{p+q}{q}B(p,q+1),$$したがって

$$\displaystyle B(p,q+1)=\frac{q}{p+q}B(p,q),\qquad B(p+1,q)=\frac pq B(p,q+1)=\frac{p}{p+q}B(p,q).$$(3) B(1,1)=$\displaystyle \int_0^1$ 1 dx=1 である。(2) の関係を順に用いると

$$\displaystyle B(5,1)=\frac45\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12 B(1,1)=\frac15,\qquad B(5,4)=\frac38\cdot\frac27\cdot\frac16 B(5,1)=\frac{1}{280}.$$