鳥取大学 2014年数学第II問解答・解説

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1問題

鳥取大学2014年度第II問

実数 $a,b,\theta$ に対して，行列 $A,R$ を以下のように定める。 $A=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ また $xy$ 平面内の相異なる2点 $P_0(p_x,p_y)$ および $Q_0(q_x,q_y)$ を考える。0以上の整数 $n$ に対し，行列 $A^n$ の表す1次変換による点 $P_0,Q_0$ の像をそれぞれ $P_n,Q_n$ とし，2点 $P_n,Q_n$ 間の距離を $D_n$ とする。ただし $A^0$ は単位行列とする。

(1) $D_0$ を $p_x,p_y,q_x,q_y$ を用いて表せ。

(2) 正の実数 $s$ に対して， $sR=A$ が成り立つとき， $s$ を $a,b$ を用いて表せ。

(3) $D_n$ と $D_0$ の比 $\displaystyle \frac{D_n}{D_0}$ を $a,b$ を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$D_0=\sqrt{(p_x-q_x)^2+(p_y-q_y)^2}$ 、 $s=\sqrt{a^2+b^2}$ （正の $s$ が存在する場合）、 $D_n/D_0=1\ (n=0)$ 、 $(a^2+b^2)^{n/2}\ (n\ge1)$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 距離の定義から $D_0=\sqrt{(p_x-q_x)^2+(p_y-q_y)^2}$ 。相異なる点なので $D_0>0$ 。 (2) 正の $s$ について $sR=A$ が成り立つとき、成分比較から $s\cos\theta=a,\quad s\sin\theta=b$ 。二乗して加えると $s^2=a^2+b^2$ 。 $s>0$ より $s=\sqrt{a^2+b^2}$ 。この条件を満たす場合はa,bが同時に0ではない。 (3) 原文でnは $0$ 以上の整数。 $n=0$ なら $A^0$ は単位行列なので $D_n/D_0=1$ 。 $n\ge1$ では任意のベクトル $(x,y)$ に対して $(ax-by)^2+(bx+ay)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)$ だから、Aを1回作用させるたびに距離は $\sqrt{a^2+b^2}$ 倍される。従って $D_n/D_0=(a^2+b^2)^{n/2}\ (n\ge1)$ 。 $a=b=0$ の場合も $n\ge1$ ならこの値は0であり、 $n=0$ の値は単位行列の定義から1。 $0^0$ は用いない。

この問題で使う考え方

行列の成分比較
回転による距離保存

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