4弘前大学 2020年 数学 第4問解答・解説

(1) $t=\sqrt{x+2}$（$t>0$）とおくと、$x=t^2-2,\ dx=2t\,dt$ であり、積分区間は $3\le t\le4$ となる。 $$\displaystyle \begin{aligned} \int_7^{14}\frac{dx}{(x-2)\sqrt{x+2}} &=\int_3^4\frac{2}{t^2-4}\,dt\\ &=\frac12\int_3^4\left(\frac1{t-2}-\frac1{t+2}\right)\,dt\\ &=\frac12\left[\log(t-2)-\log(t+2)\right]_3^4\\ &=\frac12\left(\log\frac26-\log\frac15\right)=\frac12\log\frac53. \end{aligned}$$ （区間 $3\le t\le4$ では対数の真数はいずれも正である。）

(2) $\log x=0$ となるのは $x=1$ なので、回転させる部分は $1\le x\le e$ にある。したがって $$\displaystyle V=\pi\int_1^e(\log x)^2\,dx.$$ 部分積分を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} \int(\log x)^2\,dx &=x(\log x)^2-2\int\log x\,dx\\ &=x\bigl((\log x)^2-2\log x+2\bigr). \end{aligned}$$ よって $$\begin{aligned} V&=\pi\left[x\bigl((\log x)^2-2\log x+2\bigr)\right]_1^e\\ &=\pi(e-2). \end{aligned}$$