5弘前大学 2020年 数学 第5問解答・解説

採用解説: MM-e3990440bfa5-Q5 結論　 (1)　 f(a)=$\displaystyle \frac{3a^{2}+1}{(a^{2}+1)^{2}}$,　　 (2)　 $\displaystyle \max$ f(a)=$\displaystyle \frac{9}{8}$ $\displaystyle \left(a=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

・ $\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}$ とおくと、合成関数の微分により $\displaystyle g'(x)=-\dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}$ である。$x=a$ における接線は $y=g(a)+g'(a)(x-a)$ だから、その $y$ 切片は$$\displaystyle f(a)=g(a)-ag'(a)=\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{2a^{2}}{(a^{2}+1)^{2}}=\frac{3a^{2}+1}{(a^{2}+1)^{2}}.$$

・ すべての実数 $a$ について $8(a^{2}+1)^{2}>0$ であり、$$\displaystyle \frac{9}{8}-f(a)=\frac{9(a^{2}+1)^{2}-8(3a^{2}+1)}{8(a^{2}+1)^{2}}=\frac{(3a^{2}-1)^{2}}{8(a^{2}+1)^{2}}\ge0.$$等号は $\displaystyle a^{2}=\dfrac13$、すなわち $\displaystyle a=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}$ のときに成り立つ。したがって $f(a)$ の最大値は $\displaystyle \dfrac98$ である。