6弘前大学 2020年 数学 第6問解答・解説

(1) $b_1=a_1-5=1$。また $a_n=b_n+5$ を漸化式に代入すると $$\displaystyle \begin{aligned} b_{n+1}&=a_{n+1}-5=\frac{6a_n+5}{a_n+2}-5\\ &=\frac{6a_n+5-5a_n-10}{a_n+2}=\frac{a_n-5}{a_n+2}=\frac{b_n}{b_n+7}. \end{aligned}$$ $b_n>0$ と仮定すれば $b_n+7>0$ だから $b_{n+1}>0$。初項が正でこの性質が保たれるので、数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ で $b_n>0$。

(2) $c_n=1/b_n$ とおく。(1)から $b_n>0$ であり、逆数は定義される。上の漸化式から $$\displaystyle c_1=1,\qquad c_{n+1}=\frac{b_n+7}{b_n}=7c_n+1.$$ $\displaystyle d_n=c_n+\dfrac16$ とおくと $$\displaystyle d_{n+1}=7c_n+1+\frac16=7\left(c_n+\frac16\right)=7d_n,\qquad d_1=\frac76.$$ よって $\displaystyle d_n=\dfrac76\,7^{n-1}=\dfrac{7^n}{6}$。したがって $$\displaystyle \frac1{b_n}=c_n=\frac{7^n-1}{6},\qquad b_n=\frac6{7^n-1},\qquad a_n=5+\frac6{7^n-1}.$$

(3) $\displaystyle S_n-S_{n-1}=a_n-\dfrac{5001}{1000}$ と比較する。ただし増分だけを見るため $S_0=0$ とおく。一般項から $$\displaystyle S_n-S_{n-1}=\frac6{7^n-1}-\frac1{1000} =\frac{6001-7^n}{1000(7^n-1)}.$$ 分母は正であり、$7^4=2401<6001<16807=7^5$。したがって増分は $n=1,2,3,4$ で正、$n\ge5$ で負である。ゆえに $S_n$ は $n=4$ まで増加し、その後減少する。最大となるのは $$\boxed{n=4}.$$