5群馬大学 2011年 数学 第5問解答・解説

各項を部分分数の形に直すと $$\displaystyle \begin{aligned} a_k &=\frac{(3k+1)(3k+2)}{3k(k+1)} =\frac{9k^2+9k+2}{3k(k+1)}\\ &=3+\frac{2}{3k(k+1)} =3+\frac23\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right). \end{aligned}$$

(1) 上式を $k=1$ から $n$ まで足すと、差の部分が望遠和になり $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^{n}a_k &=3n+\frac23\left(1-\frac1{n+1}\right)\\ &=\boxed{3n+\frac{2n}{3(n+1)}} =\boxed{\frac{n(9n+11)}{3(n+1)}}. \end{aligned}$$

(2) 第 $j$ ブロック $b_j$ の項数は $2j-1$。それより前のブロックには $$1+3+\cdots +(2j-3)=(j-1)^2$$ 項がある。したがって $$\displaystyle b_j=\sum\limits _{k=(j-1)^2+1}^{j^2}a_k, \qquad \sum\limits _{j=1}^{n}b_j=\sum\limits _{k=1}^{n^2}a_k =3n^2+\frac{2n^2}{3(n^2+1)}.$$ 各 $a_k>0$ なので $\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{n}b_j$ は $n$ とともに増加する。$n\le14$ なら $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{n}b_j <3n^2+\frac23 \le588+\frac23 <675,$$ 一方、$n=15$ では $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{15}b_j =3\cdot15^2+\frac{2\cdot15^2}{3(15^2+1)} =675+\frac{450}{678} >675.$$ よって条件を満たす最小の値は $$\boxed{n=15}.$$

一般項を望遠和に分解する。奇数長ブロックは先頭から $n^2$ 項をちょうど分割するため、合計を閉じた形にして $n=14,15$ を比較する。