3名古屋大学 2013年 数学 第3問解答・解説

(1),(2)　$1\le j\le n$ に対し二項定理から $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{m-1}\binom{m}{k}j^k=(j+1)^m-j^m-1.$$ よって $$\displaystyle T_m(n)=\sum\limits _{j=1}^{n}\bigl((j+1)^m-j^m-1\bigr)=(n+1)^m-1-n=(n+1)^m-n-1.$$ したがって $n=1,2$ を代入して $$T_m(1)=2^m-2,\qquad T_m(2)=3^m-3.$$

(3) $S_0(p-1)=p-1$. 任意の整数 $r (2\le r\le p-1)$ について、二項定理と望遠和より $$\displaystyle p^r-1=\sum\limits _{\ell=1}^{p-1}\bigl((\ell+1)^r-\ell^r\bigr)=\sum\limits _{j=0}^{r-1}\binom{r}{j}S_j(p-1).$$ 両辺を $p$ で見れば左辺は $-1$、右辺の $j=0$ の項も $S_0(p-1)=p-1\equiv-1$ なので $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{r-1}\binom{r}{j}S_j(p-1)\equiv0\pmod p.$$ ここで $r=2$ から順に帰納する。$r=2$ では $2S_1(p-1)\equiv0$ であり、$p\ge3$ より $p\nmid2$ だから $S_1(p-1)\equiv0$。一般に、$S_1(p-1),\ldots,S_{r-2}(p-1)\equiv0$ と仮定すると、上式に残る項は $rS_{r-1}(p-1)$ だけである。$2\le r\le p-1$ より $p\nmid r$ なので $S_{r-1}(p-1)\equiv0$。従って $k=1,2,\ldots,p-2$ のすべてについて $p\mid S_k(p-1)$ である。