1名古屋大学 2013年 数学 第1問解答・解説

全事象は27通り。全員同じ3通りと3種類の手が1人ずつの6通りはあいこで、3人が残る。手がちょうど2種類の18通りは、1人側の手が2人側に勝つ9通りでは1人の勝ち残りが決まり、2人側の手が勝つ9通りでは1人が脱落して2人が残る。よって初回後の状態確率は $p_1=q_1=9/27=1/3$。2人なら次回にあいこで2人が残る確率は$1/3$。3人なら次回に3人が残る確率も、2人が残る確率も、それぞれ$1/3$。したがって $p_{n+1}=p_n/3+q_n/3,\ q_{n+1}=q_n/3$。$q_1=1/3$より $q_n=3^{-n}$。$p_1=1/3$と漸化式から $p_n=n3^{-n}$（帰納法で確認できる）。$n$回目に勝ち残りが決まるには、その直前に2人いて通常の勝負で決まるか、3人いてその回に直接1人が勝ち残る。後者の確率は$1/3$なので、$n>=2$では $P(T=n)=(2/3)p_{n-1}+(1/3)q_{n-1}=(2n-1)/3^n$。初回も3人から直接決まる確率$1/3$で同じ式に一致する。