9千葉大学 2015年 数学 第9問解答・解説

$Q_n=(x_n,y_n)$ とおく。$Q_n$ は双曲線上にあり、$P_n=(a_n,a_n)$ は$Q_n$から漸近線$y=x$へ下ろした垂線の足である。垂線の傾きは$-1$なので$x_n+y_n=2a_n$。また$(x_n-y_n)(x_n+y_n)=x_n^2-y_n^2=1$より$x_n-y_n=1/(2a_n)$である。これらを解くと$Q_n=(a_n+1/(4a_n),a_n-1/(4a_n))$。双曲線上の点$(u,v)$における接線は$ux-vy=1$である（$v\ne0$なら陰関数微分で傾き$u/v$を得てこの式となり、$v=0$では$(u,v)=(1,0)$または$(-1,0)$で垂直接線も同式）。接線は$P_{n-1}=(a_{n-1},a_{n-1})$を通るから$a_{n-1}(x_n-y_n)=1$。したがって$a_{n-1}/(2a_n)=1$、すなわち$a_n=a_{n-1}/2$。これを繰り返して$a_n=a_0/2^n$。さらに$a_{n-1}=2a_n$なので、底辺$P_{n-1}P_n$の長さは$\sqrt2(a_{n-1}-a_n)=\sqrt2a_n$。高さは$Q_n$から$y=x$までの距離であり、$|x_n-y_n|/\sqrt2=1/(2\sqrt2a_n)$。よって$\displaystyle [\triangle P_nQ_nP_{n-1}]=\frac12\cdot\sqrt2a_n\cdot\frac{1}{2\sqrt2a_n}=\frac14$。