東邦大学 2014年数学第6問解答・解説

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1問題

東邦大学2014年度第6問

$1\leq x\leq4$ における関数 $\displaystyle f(x)=\left(\log_{2}\frac{2}{x}\right)\left(\log_{2}\frac{x}{4}\right)\left(\log_{4}\frac{4}{x}\right)$ の最大値は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

対数の性質で変数を置き換えて多項式の最大値問題にした。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \dfrac{2}{27}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$u=\log_2(4/x)$ とおくと、 $1\le x\le4$ より $0\le u\le2$ である。また $\displaystyle \log_2\frac2x=u-1,\qquad \log_2\frac x4=-u,\qquad \log_4\frac4x=\frac u2.$ 従って $\displaystyle f(x)=\frac12u^2(1-u)$ 。 $1\le u\le2$ では $f\le0$ 。 $0\le u\le1$ では $\displaystyle \frac{d}{du}\left(\frac12u^2(1-u)\right)=u-\frac32u^2=u\left(1-\frac32u\right),$ したがって最大値は $u=2/3$ でとり、 $\displaystyle f_{\max}=\frac12\left(\frac23\right)^2\left(1-\frac23\right)=\frac2{27}.$

この問題で使う考え方

極大・極小
対数とその性質
多項式の導関数

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