東邦大学 2014年数学第15問解答・解説

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1問題

東邦大学2014年度第15問

$xy$ 平面における，連立不等式 $|x-20|\leq4,\quad|y|\leq4$ の表す領域 $A$ と，不等式 $|x|+|y|\leq2$ の表す領域 $B$ を考える。2つの動点 $P,Q$ があり，動点 $P$ は領域 $A$ の内部およびその周上を動き，動点 $Q$ は領域 $B$ の内部およびその周上を動く。線分 $PQ$ の中点が動きうる領域の面積は $\boxed{\text{ルレ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

中点の集合を領域の座標和の縮小として扱い、和でできる八角形の面積を計算した。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

4解答

解答を見る途中式つきの解答

線分 $PQ$ の中点は $(P+Q)/2$ であるから、求める領域は $(A+B)/2$ である。領域 $A$ は中心 $(20,0)$ 、各辺の半分の長さが4の正方形である。これを原点中心に平行移動してから $B$ と座標ごとに足すと、半辺4の正方形と頂点 $(2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2)$ のひし形の和になる。この和の頂点は $(6,4),(4,6),(-4,6),(-6,4),(-6,-4),(-4,-6),(4,-6),(6,-4)$ であり、 $-6\le x\le6$ 、 $-6\le y\le6$ の正方形から四隅の直角二等辺三角形（脚の長さ2、面積2）を4つ除いた八角形となる。従って和の面積は $12^2-4\cdot2=136$ 。元の中点領域はこの和を縦横それぞれ $1/2$ に縮小したものだから、面積は $\displaystyle \frac{136}{2^2}=34.$

この問題で使う考え方

不等式の表す領域
ベクトルによる図形の考察

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