東邦大学 2014年数学第3問解答・解説

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1問題

東邦大学2014年度第3問

行列 $\begin{pmatrix}1&-1\\-1&0\end{pmatrix}$ の表す1次変換を $f$ ，行列 $\begin{pmatrix}1&-1\\-2&1\end{pmatrix}$ の表す1次変換を $g$ とするとき，合成変換 $f^{-1}\circ g^{-1}$ を表す行列は $\begin{pmatrix}\boxed{\text{キ}}&\boxed{\text{ク}}\\\boxed{\text{ケ}}&\boxed{\text{コ}}\end{pmatrix}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

逆変換は各成分の連立一次方程式を解き、合成後の座標の係数から行列を得た。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$f(u,v)=(u-v,-u)$ とおく。 $(x,y)=f(u,v)$ とすると、 $u=-y$ 、 $v=-x-y$ であるから $f^{-1}(x,y)=(-y,-x-y).$ 同様に $g(u,v)=(u-v,-2u+v)$ とする。 $(x,y)=g(u,v)$ から $v=u-x$ 、 $y=-u-x$ より $u=-x-y$ 、 $v=-2x-y$ 。従って $g^{-1}(x,y)=(-x-y,-2x-y).$ これを先に施し、その後 $f^{-1}$ を施すと $f^{-1}(g^{-1}(x,y))=(2x+y,3x+2y).$ したがって合成変換を表す行列は $\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}.$

この問題で使う考え方

行列を用いた表現

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