11弘前大学 2003年 数学 第11問解答・解説

成分を整数 $a,b,c,d$ として $$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\qquad u=a+d,\quad v=a-d$$ とおく。成分ごとに $A^2$ を計算し、与式と比べると $$a^2+bc=19,\quad bu=9,\quad cu=-30,\quad d^2+bc=-14.$$ $bu=9$ より $u\ne0$。また、対角成分の差をとると $$uv=(a-d)(a+d)=a^2-d^2=19-(-14)=33.$$ 整数 $u$ は $9$ と $30$ の公約数だから $$u=1,-1,3,-3\text{ のいずれか}.$$ 各候補に対し $$\displaystyle v=\frac{33}{u},\quad a=\frac{u+v}{2},\quad d=\frac{u-v}{2},\quad b=\frac9u,\quad c=-\frac{30}{u}$$ と定まり、次の表を得る。 $$\begin{array}{c|r|r|r|r|r} u&v&a&b&c&d\\\hline 1&33&17&9&-30&-16\\ -1&-33&-17&-9&30&16\\ 3&11&7&3&-10&-4\\ -3&-11&-7&-3&10&4 \end{array}$$ $u=\pm1$ のとき $bc=-270$、$u=\pm3$ のとき $bc=-30$。表の値はそれぞれ $$a^2+bc=19,\qquad d^2+bc=-14$$ を満たし、非対角成分も $bu=9$、$cu=-30$ だから、すべて元の行列等式を満たす。公約数の候補を尽くしたので、求める行列は $$\begin{pmatrix}17&9\\-30&-16\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}-17&-9\\30&16\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}7&3\\-10&-4\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}-7&-3\\10&4\end{pmatrix}$$ の4個である。