8弘前大学 2003年 数学 第8問解答・解説

定義域は $4-x^2\geq 0$ より $-2\leq x\leq 2$ である。また $f(-x)=f(x)$ なので、グラフは $y$ 軸対称である。

$-2<x<2$ で微分すると $$\displaystyle f'(x)=2x\sqrt{4-x^2}-\frac{x^3}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{x(8-3x^2)}{\sqrt{4-x^2}}.$$ $\displaystyle a=\frac{2\sqrt6}{3}$ とおくと、導関数の符号は $-2<x<-a$ で正、$-a<x<0$ で負、$0<x<a$ で正、$a<x<2$ で負である。したがって、グラフは $-2<x<-a$ と $0<x<a$ で増加し、$-a<x<0$ と $a<x<2$ で減少する。 $$\displaystyle f(0)=f(-2)=f(2)=0,\qquad f(\pm a)=a^2\sqrt{4-a^2}=\frac83\cdot\frac2{\sqrt3}=\frac{16\sqrt3}{9}.$$ よって $x=\pm a$ に同じ高さの極大点があり、$(0,0)$ は極小点である。端点では $f'(x)$ の絶対値が無限大に近づくため、端点 $(-2,0),(2,0)$ では接線が鉛直となる。以上の対称性、増減、通過点を用いてグラフを描く。

(2) 接点での傾きは $f'(\sqrt2)=2$ だから、接線は $\ell:y-2\sqrt2=2(x-\sqrt2)$、すなわち $y=2x$ である。$f(x)=2x$ を解く。$x<0$ では左辺は非負、右辺は負なので交点はなく、$x=0$ は交点である。$x>0$ では $$x^2\sqrt{4-x^2}=2x\quad\text{すなわち}\quad x\sqrt{4-x^2}=2\quad\text{すなわち}\quad (x^2-2)^2=0,$$ より $x=\sqrt2$ のみが交点となる。さらに $(x^2-2)^2\geq0$ から $x\sqrt{4-x^2}\leq2$ なので、$0<x<\sqrt2$ では直線が曲線の上にある。囲まれた部分の面積は $$\displaystyle S=\int_0^{\sqrt2}\left(2x-x^2\sqrt{4-x^2}\right)\,dx.$$ 第2項は $x=2\sin\theta$（$0\leq\theta\leq\pi/4$）と置換すると $$\displaystyle \int_0^{\sqrt2}x^2\sqrt{4-x^2}\,dx=16\int_0^{\pi/4}\sin^2\theta\cos^2\theta\,d\theta=\frac{\pi}{2}.$$ したがって $\displaystyle S=2-\frac{\pi}{2}=\frac{4-\pi}{2}$。