10弘前大学 2003年 数学 第10問解答・解説

共有点では $y^2=x-a=1-x^2$ だから $$\displaystyle x^2+x-(a+1)=0,\qquad x=\frac{-1\pm\sqrt{4a+5}}{2}.$$ $a>-1$ より $\sqrt{4a+5}>1$ であり、負の方の根は $-1$ より小さいので円 $C$ 上にはない。したがって共有点の $x$ 座標を $$\displaystyle t=\frac{-1+\sqrt{4a+5}}{2}\quad(0<t<1)$$ とおくと、二つの共有点は $(t,\pm\sqrt{1-t^2})$ で、直線 $\ell$ は $x=t$ である。また $$a=t^2+t-1,\qquad t-a=1-t^2.$$

放物線と $x=t$ に囲まれた領域を回転すると、$a\le x\le t$ における円板の半径は $\sqrt{x-a}$ だから $$\displaystyle V=\pi\int_a^t(x-a)\,dx =\frac{\pi}{2}(t-a)^2 =\frac{\pi}{2}(1-t^2)^2.$$ 円 $C$ の $x>a$ 側の弧と $\ell$ が囲む右側の円弧部分では、$t\le x\le1$ における円板の半径は $\sqrt{1-x^2}$ だから $$\displaystyle W=\pi\int_t^1(1-x^2)\,dx =\pi\left(\frac23-t+\frac{t^3}{3}\right).$$

$V=W$ より $$3t^4-2t^3-6t^2+6t-1=0 =(t-1)^2(3t^2+4t-1).$$ $0<t<1$ なので $t=1$ は除き、二次方程式から $$\displaystyle t=\frac{-2+\sqrt7}{3}$$ を得る（もう一方の根は範囲外）。よって $$\displaystyle a=t^2+t-1 =\frac{11-4\sqrt7}{9}+\frac{-6+3\sqrt7}{9}-1 =\boxed{\frac{-4-\sqrt7}{9}}.$$