12弘前大学 2003年 数学 第12問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }P=(p,0),\ Q=(0,q)\text{ とおく。}\ PQ=a\text{ より }p^2+q^2=a^2.\\\text{Rを }PR:RQ=1:2\text{ に内分する点とし、}R=(x,y)\text{ とすると、}\\x=\frac{2p}{3},\qquad y=\frac{q}{3},\quad\text{すなわち}\quad p=\frac{3x}{2},\ q=3y.\\\text{したがって}\quad \frac{9x^2}{4}+9y^2=a^2,\quad\text{ゆえに}\quad \frac{x^2}{4}+y^2=\frac{a^2}{9}.\\\text{逆にこの式を満たす }(x,y)\text{ に対し }P=(3x/2,0),\ Q=(0,3y)\text{ とおけば }PQ=a\text{ であり、}R\text{ はその内分点となる。よって軌跡はこの楕円全体である。}\\\text{(2) }x+y=1\text{ より }y=1-x.\text{ 楕円の式に代入すると}\\\frac{x^2}{4}+(1-x)^2=\frac{a^2}{9},\quad\text{すなわち}\quad 5x^2-8x+4-\frac{4a^2}{9}=0.\\\text{共有点がちょうど1個であるための条件は、この二次方程式の判別式が }0\text{ となることだから、}\\(-8)^2-4\cdot5\left(4-\frac{4a^2}{9}\right)=0.\\-16+\frac{80a^2}{9}=0\quad\text{より}\quad a^2=\frac95.\\a>0\text{ より}\quad a=\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}.\quad\text{このとき重解は }x=\frac45\text{ で、共有点は }(4/5,1/5)\text{ の1点である。}$$