9弘前大学 2003年 数学 第9問解答・解説

線分の半分の長さを $\displaystyle a=\frac{\pi}{6}$ とする。点 $P=(t,\sin t)$（$0\leq t\leq\pi$）に対応する線分は、高さ $y=\sin t$ における$t-a\leq x\leq t+a$ の部分である。

$0\leq y\leq1$ に対して $t=\sin^{-1}y$ または $t=\pi-\sin^{-1}y$ となる。この2つの中心の距離は $\pi-2\sin^{-1}y$ である。これが線分の長さ $\displaystyle 2a=\frac{\pi}{3}$ 以上なら2つの区間は重ならず（等号では接し）、未満なら重なって1区間になる。境目は $\displaystyle \sin^{-1}y=\frac{\pi}{3}$、すなわち $\displaystyle y=\frac{\sqrt3}{2}$。

したがって断面の長さを $w(y)$ とすると、 $$\displaystyle w(y)=\begin{cases}\frac{2\pi}{3}&(0\leq y\leq\frac{\sqrt3}{2}),\\[2pt]\frac{4\pi}{3}-2\sin^{-1}y&(\frac{\sqrt3}{2}\leq y\leq1).\end{cases}$$ よって求める面積は $$\displaystyle A=\int_0^{\sqrt3/2}\frac{2\pi}{3}\,dy+\int_{\sqrt3/2}^1\left(\frac{4\pi}{3}-2\sin^{-1}y\right)dy.$$ $\displaystyle \int\sin^{-1}y\,dy=y\sin^{-1}y+\sqrt{1-y^2}$ を用いると、 $$\displaystyle A=\frac{\pi\sqrt3}{3}+\left[\frac{4\pi}{3}y-2y\sin^{-1}y-2\sqrt{1-y^2}\right]_{\sqrt3/2}^1 =\frac{\pi\sqrt3}{3}+1+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi\sqrt3}{3}=1+\frac{\pi}{3}.$$