5新潟大学 2016年 数学 第5問解答・解説

(1)

定義から $$\displaystyle a_n=\frac{n!}{n^n}=\prod\limits _{j=1}^n\frac{j}{n}.$$ $1\le j\le\lfloor n/2\rfloor$ では $j/n\le1/2$ であり，それ以外の因子は $j/n\le1$ である。したがって $$0<a_n\le 2^{-\lfloor n/2\rfloor}\longrightarrow0,$$ ゆえに $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=0$。

(2)

階乗を整理すると $$\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}} =\frac{n!}{n^n}\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} =\left(1+\frac1n\right)^n\longrightarrow e,$$ ここで $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}(1+1/n)^n=e$ を用いた。

(3)

$r_m=a_m/a_{m+1}$ とおくと，(2) より $r_m\to e$ である。また $$\displaystyle \frac{a_{kn}}{a_n} =\prod\limits _{m=n}^{kn-1}\frac{a_{m+1}}{a_m} =\prod\limits _{m=n}^{kn-1}\frac1{r_m}.$$ ここで $k\ge2$ は固定する。任意の $0<\varepsilon<e$ に対して，十分大きい $n$ なら $m\ge n$ のすべてで $e-\varepsilon<r_m<e+\varepsilon$ である。積には $(k-1)n$ 個の因子があるので $$\displaystyle (e+\varepsilon)^{-(k-1)n} <\frac{a_{kn}}{a_n} <(e-\varepsilon)^{-(k-1)n}.$$ 両辺の $n$ 乗根をとり，はさみうちの定理を用いてから $\varepsilon\to0+$ とすると $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\left(\frac{a_{kn}}{a_n}\right)^{1/n} =e^{-(k-1)}=e^{1-k}.$$