3新潟大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(1) 1回で終了するのは最初に10のカードを引いた場合に限る。10のカードは10枚なので、確率は $$\displaystyle \frac{10}{30}=\frac{1}{3}.$$

(2) 1枚目が3なら2枚目が10、1枚目が5なら2枚目が5または10である。したがって、取り出す順序つきのカードの組の総数は $30\cdot29$、該当する組の数は $10\cdot10+10\cdot9+10\cdot10=290$ である。よって確率は $$\displaystyle \frac{290}{30\cdot29}=\frac{1}{3}.$$

(3) 終了回数ごとに数える。2回で終了して合計が12以上となるのは $(3,10),(5,10)$ であり、その確率は $$\displaystyle \frac{10\cdot10+10\cdot10}{30\cdot29}=\frac{200}{870}.$$ 3回で終了する場合、最初の2枚は $(3,3),(3,5),(5,3)$ のいずれかである。このうち終了時の合計が12以上となる並びは $(3,3,10),(3,5,5),(3,5,10),(5,3,5),(5,3,10)$ である。該当する順序つきの取り出し方は $$10\cdot9\cdot10+10\cdot10\cdot9+10\cdot10\cdot10+10\cdot10\cdot9+10\cdot10\cdot10=4700$$ 通りだから、その確率は $4700/(30\cdot29\cdot28)$ である。4回目まで続くのは最初の3枚がすべて3の場合だけで、その確率は $10\cdot9\cdot8/(30\cdot29\cdot28)$。4枚目は3以上なのでこの場合は必ず合計12以上で終了する。以上より $$\displaystyle \frac{200}{30\cdot29}+\frac{4700}{30\cdot29\cdot28}+\frac{10\cdot9\cdot8}{30\cdot29\cdot28}=\frac{11020}{24360}=\frac{551}{1218}=\frac{19}{42}.$$