4新潟大学 2016年 数学 第4問解答・解説

$\displaystyle f'(x)=a-\frac{e^x}{1+e^x}$ より、唯一の停留点は $\displaystyle x_0=\log\frac{a}{1-a}$ である。また $\displaystyle f''(x)=-\frac{e^x}{(1+e^x)^2}<0$ で、$x\to\pm\infty$ で $f(x)\to-\infty$ だから、ここで大域最大となる。$\displaystyle 1+e^{x_0}=\frac1{1-a}$ を用いると $M(a)=f(x_0)=a\log a+(1-a)\log(1-a)$。次に $\displaystyle M'(a)=\log\frac{a}{1-a}$、$\displaystyle M''(a)=\frac1a+\frac1{1-a}>0$ であるから、最小は $\displaystyle a=\tfrac12$ で取り、値は $-\log2$。さらに $M(1-a)=M(a)$、$M'$ の符号は $\displaystyle a=\tfrac12$ の左右で負から正に変わり、$\displaystyle \lim\limits _{a\to0+}M(a)=\lim\limits _{a\to1-}M(a)=0$。したがってグラフは$0<a<1$ の範囲の対称な下に凸の曲線で、両端の極限点 $(0,0),(1,0)$ は含まない。

(3)のグラフ。定義域は $0<a<1$ であり、白丸の両端は含まない。