1群馬大学 2007年 数学 第1問解答・解説

4つの根を小さい順に $$x,\quad x+d,\quad x+2d,\quad x+3d\qquad(d>0)$$とおく。$d>0$ は4つが相異なることによる。 $\alpha$ の根の組を $U$、$\beta$ の根の組を $V$ とし、各組の和を $S_U,S_V$、積を $P_U,P_V$ とする。解と係数の関係から $$S_U=-a,\quad P_U=b,\qquad S_V=-b,\quad P_V=a,$$したがって必ず $$S_U+P_V=0,\qquad S_V+P_U=0$$が成り立つ。組の交換を除いた分け方は次の3通りである。

(i) $U=\{x,x+d\},\quad V=\{x+2d,x+3d\}$ のとき、条件は $$\begin{cases}x^2+(5d+2)x+6d^2+d=0,\\x^2+(d+2)x+5d=0.\end{cases}$$上式から下式を引くと $2d(2x+3d-2)=0$ なので $\displaystyle x=1-\frac32d$。これを下の式に代入すると $\displaystyle 3+\frac34d^2=0$ となり、$d>0$ に反する。

(ii) $U=\{x,x+3d\},\quad V=\{x+d,x+2d\}$ のとき、両組の和は $2x+3d$ で、積の差は $2d^2$ である。二つの条件 $S_U+P_V=0$ と $S_V+P_U=0$ を引くと $2d^2=0$ となるが、$d>0$ なので不可能。

(iii) $U=\{x,x+2d\},\quad V=\{x+d,x+3d\}$ のとき、条件は $$\begin{cases}x^2+(4d+2)x+3d^2+2d=0,\\x^2+(2d+2)x+4d=0.\end{cases}$$上式から下式を引くと $d(2x+3d-2)=0$ なので $\displaystyle x=1-\frac32d$。これを上の式に代入すると $\displaystyle 3-\frac34d^2=0$。$d>0$ より $d=2$、したがって $x=-2$ である。

よって唯一の昇順の等差数列は $$-2,\quad0,\quad2,\quad4\qquad(\text{公差 }2)$$である。実際、$(a,b)=(0,-4)$ とすれば二つの方程式は $x^2-4=0$ と $x^2-4x=0$ となり、根はそれぞれ $\{-2,2\}$ と $\{0,4\}$ で、条件を満たす。