5群馬大学 2007年 数学 第5問解答・解説

条件 $(a_n\ne0)$ を用いて、与えられた関係を $(a_{n+3})$ について解く。 $$\displaystyle a_n a_{n+3}=a_n a_{n+1}+(a_{n+1}-a_{n-1})a_{n+2},\qquad a_{n+3}=a_{n+1}+\frac{a_{n+1}-a_{n-1}}{a_n}a_{n+2}.\tag{1}$$ $(d=a_4-1)$ とおく。初期条件より $(a_1=a_2=a_3=1,\ a_4=1+d)$ である。偶数項と奇数項について $$a_{2k-1}=1,\qquad a_{2k}=1+(k-1)d \tag{2}$$ が成り立つことを帰納法で示す。$(k=1,2)$ に対応する既知項 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ で形が整っている。$(k\ge2)$ で (2) が $(a_{2k})$ まで成り立つとする。(1) に $(n=2k-2)$ を代入すると、$(a_{2k-1}=a_{2k-3}=1)$ より $(a_{2k+1}=1)$ を得る。続いて $(n=2k-1)$ とすると、$(a_{2k}-a_{2k-2}=d)$、$(a_{2k-1}=a_{2k+1}=1)$ より $$a_{2k+2}=a_{2k}+d=1+kd.$$ したがって (2) はすべての $(k\ge1)$ で成り立つ。 $$a_{100}=a_{2\cdot50}=1+49d=148 \quad\text{より}\quad d=3.$$ よって奇数番目は $(1)$、偶数番目は $(a_{2k}=1+3(k-1)=3k-2)$ であり、$(n=2k)$ と書けば $\displaystyle (a_n=\frac{3n}{2}-2)$ である。偶数項は $(k\ge1)$ で $(3k-2\ge1)$、奇数項も $(1)$ なので非零条件にも合う。